بررسی علم احتمال

مقاله بررسی علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ویرایش

بررسی علم احتمال

تاریخچه

هیچ كس نمی داند كه اعتقاد به شانس برای نخستین بار در چه زمانی و مكانی مطرح شد. در هر حال این امر در دوران ماقبل تاریخ ریشه دارد. با این حال، اسناد كافی نشان می دهد كه انسانهای اولیه برای توجیه حوادث تصادفی به وسایلی متوسط می شده اند. برای مثال در آسیای صغیر در آیین پیشگویی مرسوم بود كه پنج قاپ را بیندازند. ترتیب ممكن از قاپها، نام خدایی را به همراه داشت (ماركس و لارسن، 1990). برای مثال چنانچه ترتیب (4، 4، 3، 1) به دست می آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن یك شماره اختصاص داده می شد). گفته می شد زئوس منجی آمده است و چنین ترتیبی پنشانی از قوت قلب تلقی می شد و تفسیر آن این بود كه آنچه در سر داری،‌ بی مهابا به انجام برسان. یا اگر ترتیب 4، 4، 4، 6، 6 ظاهر می شد معنای آن این بود كه در خانه ات بمان و به هیچ كجا مرو.

به تدریج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشین قاپ شد. در مقبره های مصر كه 2000 سال پیش از میلاد مسیح ساخته شده اند، تاسهای سفالی به دست آمده اند. متداول ترین تاس بازی آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازانی كه از جنگهای صلیبی بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق برای نخستین بار در قرن چهاردهم رواج پیدا كرد.

مورخان در مورد این كه اعتقاد به احتمال شروع نامشخصی دارد اتفاق نظر دارند. شاید دلیل این امر ناسازگاری آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، یعنی فلسفه یونان و خداشناسی مسیحیان در صدر مسیحیت باشد. یونانیان به عقیده شانس اكتفا می كدرند در صورتی كه مسیحیان چنین اعتقادی نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاك برداشت. سازماندهی و احیا آن توسط جرولامو كاردان انجام گرفت. علاقه كاردان كه ظاهراً تحصیلاتی در رشته پزشكی داشت، به قوانین احتمال، ناشی از میل وافر او به قمار بود. او در صدد دستیابی به یك الگوی ریاضی بود تا با كك آن بتواند حوادث اتفاقی را تشریح كند. آنچه كه او سرانجام تدوین كرد تعریف كلاسیك احتمال است. به این صورت كه در صورتی كه تعداد نتایج ممكن حادثه ای كه همه دارای احتمال یكسان هستند را با n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از n نتیجه ممكن اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی  است. برای مثال در صورتی كه تاسی بدون اریبی باشد،‌ 6 ممكن (6= n) خواهد شد (نتایج 5 و 6) و احتمال 5 یا بزرگتر از آن مساوی  یا  خواهد بود.

كاردان ابتدایی ترین اصول احتمال را مطرح كرده بود. الگویی كه او كشف كرده بود ممكن است پیش پا افتاده به نظر برسد اما حاكی از گامی عظیم بود. بسیاری از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال 1654 می دانند. در پاریس قمار باز ثروتمندی به نام شوالیه دمور از چند ریاضی دان برجسته از قبیل بلز پاسكال سوالهایی پرسید كه معروفترین آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت می كنند كه بدون تقلب مجموعه ای بازی را تا زمانی كه یك نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر كدام از این دو نفر بر سر مبلغ یكسانی شرط بندی می كنند با این قصد كه برنده كل، تمام مبلغ شرط بندی (بانك) را برنده شود. حال فرض كنید به هر دلیلی این بازیها قبل از موقع پایان پذیرد، مثلا در نقطه یا مرحله ای كه فرد الف 5 دست و فرد ب 3 دست برنده شده باشد. در این مرحله یا نقطه از بازی، پول شرط بندی شده چطور باید تقسیم شود؟ پاسخ صحیح این است كه فرد الف باید  كل مبلغ شرط بندی شده را دریافت كند. چرا مبلغ شرط بندی شده باید به این ترتیب تقسیم شود؟

با طرح سوالهای دمور، حس كنجكاوی پاسكال برانگیخته شد و نظر خود را با پیر فرما، كارمند دولت و احتمالاً برجسته ترین ریاضی دان اروپا، در میان گذاشت. فرما با روی گشاده از نظر پاسكال استقبال كرد و از همان موقع بود كه نظریه معروف تناظر پاسكال- فرما نه تنها برای حل مسائل نقاط مطرح شد بلكه شالوده ای برای كارهای اساسی تر گردید.خبر آنچه كه فرما و پاسكال یافته بود انتشار یافت و دیگران هم به مطالعه این مساله پرداختند. معروفترین آنها دانشمند و ریاضی دان هلندی كریستیان های جنز است كه نام او بیشتر به خاطر كارهایش در نورشناسی و نجوم در خاطرها مانده است. توجه های جنز در همان اوایل كارش به مسائل نقاط جلب شد. وی در سال 1657 كتاب محاسبات در بازیهای احتمالی را منتشر ساخت كه قریب 50 سال به عنوان كتاب درسی درباره نظریه احتمال تدریس می شد (لارسن و ماركس، 1990). طرفداران های جنز او را بنیانگذار احتمالات می دانند.

احتمال

مفهوم احتمال به صورتهای مختلف در زندگی به كار برده می شود، احتمال به صورت كلی به درست نمایی اتفاق افتادن حادثه تعریف شده است. این درست نمایی غالباً با P نشان داده میشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه ای كه انتظار وقوع آن می رود. ارزش مقداری احتمال بین صفر تا 1 قرار دارد. ارزش 1 برای پیشامد حتمی و ارزش صفر برای نشان دادن اینكه شانس یا احتمال وقوع حادثه معینی وجود ندارد، به كار برده می شود. در زندگی حوادث نادری وجود دارند كه احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمی است. به طور كلی، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقیق و روشن تعریف شوند، احتمال وقوع یك حادثه معین، P ، مساوی است با تعداد شیوه هایی كه آن حادثه اتفاق می افتد تقسیم بر تعداد كل حالتها. به عبارت دیگر، P مساوی است با تعداد حالتهای مساعد تقسیم بر مجموع كل حالتها. برای مثال، در صورتی كه تاس بدون اریبی را رها كنیم احتمال این كه هر یك از شش وجه آن به زمین بنشیند مساوی      است و احتمال این كه هر یك از شماره های 2، 4 یا 6 به زمین بنشیند مساوی     یا 5/0 است.

همان طور كه گفته شد احتمال وقوع حادثه معینی را با P نشان می دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان می دهند. مجموع P و q همیشه مساوی یك است (p+q=1). برای مثال، در صورتی كه سكه بدون اریبی را پرتاب كنیم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن      یا 5/0 است و جمع این دو احتمال مساوی 1 است (p+q=1). در صورتی كه وقوع یك حادثه در احتمال وقوع حادثه دیگر تاثیری نداشته باشد، آنها را مستقل گویند. حوادث مركب به حوادثی گفته می شوند كه از دو یا چند حادثه ساده تشكیل شده باشند، مانند امكان آمدن دو تا 4 در دو مرتبه انداختن تاس.

اصول اساسی قانون ضرب

مسائل مربوط به احتمال كه مورد بحث پاسكال، كاردان و دیگران قرار گرفت از نظر مفهوم یكسان هستند. همه آنها به نسبت می‌پردازند. اگر یك عمل یا یك بازی به n نتیجه تقریباً‌ یكسان منجر شود و در صورتی كه m نتیجه از آنها دارای شرایط معینی  باشد، احتمال آن شرایط مساوی  است.

پیدا كردن n و m گاهی اوقات آسان و در برخی از شرایط دشوار است. چنانچه حادثه مورد مطالعه همانند انداختن تاس ساده باشد. n  و m را می‌توان به صورت مستقیم به وسیله شمارش به دست آورد. اما موقعی وجود دارد كه امكان شمارش به صورت مستقیم وجود ندارد یا در صورتی كه این امكان وجود داشته باشد شمارش وقت‌گیر و مقرون به صرفه نیست. در چنین شرایطی از شاخه ای از ریاضیات به نام ریاضی تركیبی استفاده می‌شود. این رشته از ریاضیات به بررسی، انتخاب، ترتیب، شمارش ترتیب و توالیهای مرتب نشده می‌پردازد. ریاضی تركیبی به بررسی ساخت نتایج همراه با یك موقعیت می‌پردازد و به ما اجازه می‌دهد تا n و m را به صورت منظم بشماریم. این بحث را با تفكری كه هسته اصلی ریاضی تركیبی است شروع می‌كنیم. این ایده یا تفكر به راههای مختلف شمارش ترتیب و توالی حوادث منجر می‌شود.

دانشجویی را در نظر بگیرید كه برای تعطیلات آخر هفته خود برنامه‌ریزی می‌كند. كارهایی كه او می‌تواند انجام دهد در جدول زیر ذكر شده است.

كاملا روشن است كه در آخر هفته او باید یكی از 6 رشته فعالیتهای زیر را انجام دهد. او می‌تواند در شب جمعه یكی از سه فعالیت و در شب شنبه یكی از دو فعالیت را انجام دهد. در صورتی این دانشجو بخواهد شب یكشنبه 5 فعالیت دیگر را انجام دهد، مجموعه فعالیتهای او به 30 فعالیت (30= 6× 5) افزایش پیدا می‌كند. زیرا هر یك از فعالیتهای قبلی در 5 ضرب می‌شود. بسط و توسعه این مثال به K فعالیت اساسی‌ترین قانون موجود در ریاضی تركیبی یعنی قانون ضرب را نشان می‌دهد.

اگر مرحله 1 را بتوان به n₁ صورت و مرحله 2 را به n₂ صورت … و مرحله k را به n­_k صورت انجام داد.احتمال اینكه تمام مراحل به ترتیب معین ظاهر شوند مساوی است با

 به عبارت دیگر در صورتی دویا چند حادثه وابسته باشند و احتمال آنهال به ترتیب p₁  تا P_n باشد، احتمال اینكه تمام این حوادث به ترتیب معینی رخ دهند مساوی حاصل ضرب هر یك از احتمالها.

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                              صفحه

تاریخچه................................................................................................................. 1

احتمال.................................................................................................................... 4

احتمال نظری......................................................................................................... 5

احتمال تجربی........................................................................................................ 5

احتمال ذهنی.......................................................................................................... 6

محاسبه احتمال...................................................................................................... 6

جمع حوادث سازگار............................................................................................. 7

ضرب حوادث مستقل............................................................................................ 7

ضرب حوادث وابسته............................................................................................ 8

اصول اساسی قانون ضرب.................................................................................. 9

جایگشت (تبدیل)..................................................................................................... 11

ترتیب..................................................................................................................... 13

قاعده ترتیب........................................................................................................... 14

تركیب.................................................................................................................... 15

ویژگیهای تركیب.................................................................................................... 18

توصیف احتمال یك حادثه..................................................................................... 18

خلاصه................................................................................................................... 19

برچسب ها : بررسی علم احتمال , تحقیق بررسی علم احتمال , پروژه بررسی علم احتمال , مقاله بررسی علم احتمال , دانلود تحقیق بررسی علم احتمال , پروژه , پژوهش , مقاله , جزوه , تحقیق , دانلود پروژه , دانلود پژوهش , دانلود مقاله , دانلود جزوه , دانلود تحقیق